Gimė Molėtų r., Pumpuriškės kaime, Marcijonos ir Aleksandro Zajančkauskų šeimoje. Tėvas  1930–1940 m. dirbo pasienio policijoje, tarnavo prie demarkacinės linijos Pasiaurėje, Palabažyje ir Linkmenyse. Be Teofilės šeimoje augo jaunesnė sesuo Laima.

1940 m., išformavus pasienio policiją, šeima persikėlė į Vilnių. Tėvas 1947 m. buvo suimtas ir „troikos“ sprendimu septyneriems metams ištremtas į Vorkutos lagerius; grįžo 1954 m. Motina dirbo sanitare 2-joje ligoninėje (Subačiaus g.)

Teofilė mokėsi Vilniaus Kunigaikštienės Birutės (nuo 1946 m. Salomėjos Nėries) mergaičių gimnazijoje, kurią baigė 1948 m. Tais pačiais metais Rektoriaus Jono Bučo užtarimu buvo priimta į Vilniaus universiteto Istorijos-filologijos fakultetą ir 1953 m. baigė lietuvių kalbos ir literatūros studijas. Tarp kurso draugų buvo Jonas Lankutis, Juozas Stonys, Algirdas Sabaliauskas, Donatas Sauka ir būsimasis vyras Vytautas Būda. Susituokė 1951 m., užaugino tris sūnus: Jurgį, Vincą ir Vytautas.

Baigusi universitetą Teofilė Būdienė iki 1961 m. dirbo Vilniaus 5-ojoje (Antakalnyje), po to – 17-ojoje (Aukštuosiuose Paneriuose) masinėje bibliotekoje vedėja. 1963 m. kovo 1 d. pradėjo dirbti tuometėje Respublikinėje bibliotekoje (dabar Lietuvos nacionalinė Martyno Mažvydo biblioteka). Buvo Skaitytojų aptarnavimo skyriaus vyresnioji bibliotekininkė, nuo 1972 m. spalio 1 d. Kraštotyros-lituanistikos (vėliau – Lituanistikos) skyriaus bibliografė, 1978–1984 m. Mokslinės informacijos ir leidinių skyriaus vedėja. Suėjus pensiniam amžiui su pertraukomis dirbo Lituanistikos skyriuje iki 1996 m. gegužės 31 d.

Dirbdama Respublikinės bibliotekos skaitytojų aptarnavimo skyriaus Masinių renginių sektoriuje, surengė Kristijono Donelaičio 250 metų jubiliejui skirtą parodą, rengė Maironio, Kazio Borutos, Juozo Baltušio ir kitų rašytojų jubiliejinius vakarus, literatūrinius renginius, parodas, knygų aptarimus. Paroda, skirta M. K. Čiurlionio gimimo 100-osioms metinėms buvo pristatyta Maskvoje ir Berlyne.

Teofilė Būdienė buvo Respublikinės bibliotekos Moterų tarybos pirmininkė, ne kartą išrinkta į profsąjungos vietos komitetą. Jos veikla buvo įvertinta Kultūros ministerijos ir kitų organizacijų garbės raštais. Dar gimnazijoje dainavo Prano Sližio vadovaujamame mergaičių chore, įstojusi į universitetą – Akademiniame universiteto chore, o bibliotekoje ilgus metus dainavo moterų ansamblyje „Ramuva“.