1911 m. baigė Liepojos gimnaziją, įstojo į Ženevos (Šveicarija) universiteto Medicinos fakultetą. Po metų studijas nutraukė ir pradėjo mokytis Fribūro (Šveicarija) katalikų universiteto Filosofijos fakultete (filosofijos daktaro disertaciją L. Bistras apgynė 1921 m.). 1912 m. sugrįžo prie medicinos studijų Tartu (Estija) universitete. 1914 m. be egzaminų buvo priimtas į Kauno kunigų seminariją.

Kilus Pirmajam pasauliniam karui, buvo mobilizuotas į Rusijos kariuomenę. Tarnavo felčeriu karo lauko ligoninėse. Rusijoje pradėjo bendradarbiauti su besitelkiančiais krikščionimis demokratais.

1918 m. L. Bistras grįžo į Lietuvą, padėjo steigti Kauno savivaldybę, dalyvavo krašto politinių struktūrų kūrimo darbe. Buvo išrinktas į miesto tarybą, kuri karo nualintiems miesto gyventojams steigė maitinimo, medicinos pagalbos punktus. 1919 m. L. Bistras vadovavo į Kauną persikėlusios Vyriausybės Spaudos biurui. Buvo oficialaus dienraščio „Lietuva“ vyriausiasis redaktorius.

1921 m. L. Bistras tapo Lietuvių krikščionių demokratų partijos (LKDP) nariu. 1927–1940 m. – šios gausiausios ir įtakingiausios opozicinės partijos pirmininkas (1936 m. visų partijų veikla, išskyrus Tautininkų, buvo uždrausta). Nors ir turėjo filosofo išsilavinimą, LKDP ideologu netapo. Iš lotynų kalbos išvertė popiežiaus Leono XIII ir popiežiaus Pijaus XI enciklikas – pagrindinius Katalikų bažnyčios ir krikščioniškosios demokratijos socialinės minties šaltinius.

1922 m. buvo pakviestas vadovauti Lietuvos universiteto Teologijos-filosofijos fakulteto Filosofijos sistemos katedrai. Šios katedros docento pareigas ėjo iki suėmimo (1940). Lietuvos universitete skaitė gamtos ir teisės filosofijos, etikos, teodicėjos, filosofijos įvado, logikos paskaitų kursus.

1922 m. buvo Pavasarininkų sąjungos pirmininkas („Pavasario“ kaimo jaunimo sąjunga tuo metu Lietuvoje buvo didžiausia organizacija).

L. Bistras vadovavo I Seimui (1922–1923). Nuo 1925-01-27 iki 1925-09-25 buvo II Seimo Pirmininkas. 1926 m. išrinktas į III Seimą, dirbo opozicijoje.

Ernesto Galvanausko vadovaujamoje IX vyriausybėje (1923-06-29–1924-06-18), Antano Tumėno vadovaujamoje X vyriausybėje (1924-06-18–1925-02-04) buvo švietimo ministras.

Atsistatydinus Vytauto Petrulio vadovaujamai Vyriausybei, 1925-09-25–1926-06-15 vadovavo XII ministrų kabinetui ir buvo krašto apsaugos ministras. Nuo 1926-04-21 užsienio reikalų ministro poste pakeitė Mečislovą Reinį. Kai L. Bistras vadovavo vyriausybei, svarbiausias valstybinio gyvenimo įvykis buvo Lietuvos bažnytinės provincijos įkūrimas. 

L. Bistro vadovavimo vyriausybei laikotarpiu vyko ekonominės derybos su Latvija, Vokietija, per 1925 m. SSRS užsienio reikalų liaudies komisaro Georgijaus Čičerino vizitą į Kauną susitarta pradėti derybas dėl nepuolimo sutarties. Tobulintas valstybės institucijų, aukštųjų ir specialiųjų mokyklų, ypač žemės ūkio mokyklų, taip pat medicinos, veterinarijos įstaigų darbas.

Augustino Voldemaro vadovaujamoje XIV vyriausybėje (1926-12-17–1929-09-23) buvo švietimo ministras iki 1927-05-03 (Prezidentui A. Smetonai paleidus III Seimą ir nepaskelbus naujų rinkimų datos, LKDP savo atstovus iš vyriausybės atšaukė).

1926–1939 m. faktiškasis krikščionių demokratų dienraščio „Rytas“ redaktorius. Nemažai rašė į kitus periodinius krikščionių demokratų leidinius. Buvo Lietuvos žurnalistų sąjungos narys.

Po Lenkijos ultimatumo 1938 m. suaktyvėjus opozicinėms politinėms jėgoms L. Bistras dalyvavo bendruose Krikščionių demokratų ir valstiečių liaudininkų pasitarimuose (abiejų partijų nuomones apie Lietuvos valstybės reikalus imta skelbti 1938 m. Klaipėdoje pradėtame nelegaliai leisti laikraštyje „Žygis“). Už šią veiklą L. Bistras drauge su kitais opozicijos veikėjais buvo sulaikytas ir trims mėnesiams ištremtas į Alytų.

Praradus Klaipėdos kraštą, L. Bistras buvo pakviestas dirbti Jono Černiaus vadovaujamoje XX vyriausybėje (1939-03-28 – 1939-11-21). Atsisakęs siūlyto užsienio reikalų ministro posto, vadovavo švietimo ministerijai.

1940 m. liepos 11 d. buvo sovietų valdžios suimtas ir ištremtas į Sibirą. 1945 m. pritaikius SSKP ideologiniais interesais pagrįstą amnestiją, L. Bistras grįžo į Lietuvą. 1950 m. vėl buvo suimtas ir ištremtas. Į Lietuvą grįžo 1956 m.

Sovietų valdžiai atmetus reabilitacijos prašymą, negavo pensijos ir gyveno globojamas svetimų žmonių.