Baigė Šiaulių gimnaziją, pedagoginius kursus, studijavo Žemės ūkio akademijoje, mokytojavo.

1945 m. sovietinio saugumo suimtas, kalintas Archangelsko srities ir Komijos lageriuose. Aktyviai dalyvavo lietuvių tremtinių pogrindinėje veikloje, savišvietos būreliuose, skaitė paskaitas apie lietuvių literatūrą, buvo lietuvių kalinių literatų Intoje kūrybos vertintojas (slapyvardis Saulėnas). Ibntoje kalintas kartu su mons. Kazimieru Vasiliausku. Į Lietuvą grįžo 1956 metais.

2004 m. rugpjūčio 5 d. J. Kudžmai suteiktas Gargždų miesto garbės piliečio vardas.