Tėvai: Stanislovas Feliksas Didžiulis (1856–1927) – bibliografas, švietėjas, ir Liudvika Nitaitė-Didžiulienė-Žmona (1856–1925) – rašytoja. Buvo vyriausia tarp šeimoje užaugusių aštuonių vaikų. Broliai ir seserys: Emilija Didžiulytė (1879–1962) – šeimos globotinė po vaikystės traumos, Vytautas Didžiulis (1881–1956) – pedagogas, gamtininkas, Vanda Didžiulytė-Albrechtienė (1881–1941) – gydytoja ir rašytoja, Antanas Didžiulis (1883–1960) – gydytojas, Michalina Didžiulytė-Ševeliovienė (1884–1973) – pedagogė, gydytoja, knygnešė, Algirdas Severinas Didžiulis (1887–1916) – spaustuvininkas, kariškis, Aldona Didžiulytė-Kazanavičienė (1888–1968) – pedagogė ir rašytoja.
Vaikystėje buvo mokoma namuose Griežionėlėse (Anykščių r.). 1896 m. O. Didžiulytė drauge su motina išsikėlė į Mintaują (dabar – Jelgava, Latvija), kur mokėsi privačiai. 1899 m. Dorpate (dabar – Tartu, Estija) ji baigė felčerės akušerės kursus.
Nuo 1899 m. O. Sketerienė vertėsi akušerės medicinos praktika (1900–1902 m. – Kupiškyje, 1902–1912 m. – Žeimelyje (Pakruojo r.). Iš ten 1902–1904 m. ji buvo persikėlusi į Pskovą (Rusija), kur už lietuviškos spaudos platinimą buvo ištremtas jos vyras. 1912–1913 m. ji dirbo akušere Linkuvoje (Pakruojo r.), o 1913–1915 m. – Papilyje (Biržų r.).
1915 m. su vyru pasitraukė į Rytus, apsigyveno Kryme, Jaltoje (Ukraina). Sketeriai daug padėjo sergančioms moterims ir nuo karo nukentėjusiems žmonėms. 1915 m. Jaltoje jiedu atidarė sanatoriją džiova sergantiems lietuviams pabėgėliams.
Likusi našle, O. Sketerienė persikėlė į Maskvą, 1916 m. baigė medicinos seserų ir felčerių kursus ir 1916–1919 m. dirbo felčere karo pabėgėlių stovyklose Maskvoje.
1919 m. grįžusi į Lietuvą, O. Sketerienė dirbo felčere Vilniuje, užkrečiamomis ligomis sergančių ligonių barakuose. Lenkams užėmus Vilnių, pati sirgdama nespėjo pasitraukti ir buvo mobilizuota. 1919–1920 m. dirbo Varšuvos (Lenkija) karo lauko ligoninėje gydytoja, kol galėjo grįžti į Lietuvą.
Nuo 1920 m. iki senatvės su pertraukomis vertėsi gydytojos ar felčerės praktika, daugiausiai gyvendama gimtosiose Griežionėlėse. 1922–1924 m. dirbo Panevėžio ligoninėje.
Senatvę kartu su seserimi Emilija praleido Antavilių (Vilniaus r.) senelių namuose.
Išaugusi patriotiškoje šeimoje, O. Sketerienė ir pati rūpinosi lietuvybės išsaugojimu. Paauglystėje užrašė daug liaudies dainų, mįslių ir patarlių. 1892–1896 m. rašė patriotiškus eilėraščius ir juos spausdino Tilžės leidiniuose.
Iš lenkų kalbos išvertė apysaką „Jurgis Kastrijotas, išvaduotojas Albanijos“ (1894 m. išspausdinta „Ūkininko“ prieduose). Šią apysaką baigė tokiais žodžiais: „Lietuvėle motinėle, kada gi tu sulauksi savo Skanderio, arba vado, kuris, sušaukęs vaikus tavo, išvaduos tave iš po jungo terionių maskolių“.
1895 m. O. Didžiulytė parašė knygelę „Apie naudingus ir kenkiančius ūkiui paukščius“ (išspausdinta „Ūkininko“ priede).
Dirbdama gydytoja, O. Sketerienė šelpė kaimų ir miestelių varguomenę, besimokantį jaunimą, Linkuvoje, Žeimelyje ir kitur rengė lietuviškus vakarus, spektaklius ir kitas kultūrines pramogas, bendravo su Lietuvos šviesuomene.
Ištekėjo po 1896 m., vyras Adomas Sketeris (1859–1916) – gydytojas, literatas. Vaikų neturėjo, liko našlė. A. Sketerio sesuo Konstancija Sketeriūtė-Jablonskienė – žinomo kalbininko Jono Jablonskio (1860–1930) žmona.
