Kunigas kanauninkas, vyskupas, švietėjas, visuomenės veikėjas. Gimė 1873 m. sausio 22 d. (pagal naująjį kalendorių – 1873 m. vasario 3 d.) Trakinių k. (Kurklių parapija, Anykščių r.), mirė 1942 m. birželio 16 d. Kaune. Palaidotas Kaišiadorių Kristaus Atsimainymo katedros kriptoje.

Tėvai: Mykolas Kukta (?–1879) ir Ona Raupelytė-Kuktienė iš Klabinių (Molėtų r.) – žemdirbiai, pasiturintys ūkininkai. Augo 8 vaikų šeimoje. Broliai: Jokūbas Kukta – spaustuvininkas knygrišys, Mykolas Kukta (1864–?), Martynas Kukta (1875–1956) – spaustuvininkas, Simonas Kukta (1880–1943) – žemdirbys ūkininkas. Sūnėnas (brolio Simono sūnus) Petras Kukta-Girininkas (1919–1949) – laisvės gynėjas, partizanų būrio vadas.

Pasimokęs namuose, vaikystėje kartu su broliu Martynu išvyko į Vilnių gyventi pas vyresnįjį brolį Jokūbą ir toliau mokytis. Mokydamasis privačiai, 1891 m. baigė vidurinį mokslą.

1891–1895 m. studijavo Vilniaus kunigų seminarijoje, 1895–1899 m. tęsė studijas Sankt Peterburgo (Rusija) dvasinėje akademijoje, įgijo teologijos magistro laipsnį.

1898 m. gruodžio 31 d. J. Kukta buvo įšventintas kunigu.

1899–1901 m. Vilniaus Šv. Teresės – Aušros vartų bažnyčios vikaras.

Vilniaus lietuviams katalikams atgavus Šv. Mikalojaus bažnyčią kaip Šv. Jono parapijos filiją, J. Kukta 1901–1908 m. buvo jos rektorius, kunigas filialistas. Bažnyčioje buvo lietuviškos spaudos slėptuvė. J. Kukta čia pradėjo laikyti pamaldas lietuvių kalba, subūrė lietuvių giedotojų bažnytinį chorą. Bažnyčia tapo lietuvybės centru Vilniuje, prie jos būrėsi ir kiti lietuviai kunigai, tarp jų – ir Vilniuje dirbęs Juozas Tumas-Vaižgantas.

1902 m. paskirtas ir tikybos mokytoju Vilniaus komercinėje mokykloje, keturklasėje miesto mokykloje bei nepilnamečių nusikaltėlių kolonijoje. Tikybą lietuviams jis dėstė lietuvių kalba, buvo uolus lietuvių reikalų gynėjas. 1906–1908 m. jis dėstė lietuvių kalbą Vilniaus kunigų seminarijoje.

1904 m. panaikinus lietuviškos spaudos draudimą, jis buvo vienas iš laikraščio „Vilniaus žinios“ organizatorių, paskui padėjo broliui Martynui Kuktai atidaryti privačią spaustuvę.

1905 m. J. Kukta dalyvavo Didžiojo Vilniaus Seimo darbe, buvo vienas iš 15 jo parengiamojo komiteto narių, atstovaudamas Šv. Mikalojaus parapijos tikintiesiems.

Nuo 1904 m. jis taip pat buvo Vilniaus lietuvių labdaros draugijos pirmininkas, 1905 m. įsteigė Vilniaus lietuvių beturčių vaikams prieglaudą ir draugiją vargdienių vaikams globoti. 1907 m. J. Kukta gavo rusų valdžios leidimą lietuvių dviklasei mokyklai ir suteikė jai nemokamas patalpas prie Šv. Mikalojaus bažnyčios.

1907 m. sausio 9 d. J. Kukta kartu su keliais kitais lietuviais inteligentais Petro Vileišio namuose Antakalnyje surengė ir atidarė Pirmąją lietuvių dailės parodą, kurioje pirmąkart savo kūrinius eksponavo ir Mikalojus Konstantinas Čiurlionis.

1908–1922 m. J. Kukta buvo Vilniaus Visų Šventųjų parapijos klebonas. 1917 m. Vilniaus vyskupas Eduardas Roppas paskyrė jį Vilniaus vyskupijos katedros kapitulos kanauninku.

1909 m. J. Kukta išrinktas į mišrią komisiją lietuvių ir lenkų ginčams spręsti. Vėliau buvo aktyvus lietuvių švietimo draugijos „Rytas“ narys, rūpinosi Vilniaus krašto švietimu. 1913 m. steigiamajame šios draugijos susirinkime jis buvo išrinktas pirmosios valdybos nariu, paskui buvo vis perrenkamas kasininku, o 1917 m. išrinktas „Ryto“ draugijos vicepirmininku. Draugijos centras ir raštinė ilgą laiką buvo J. Kuktos parapijos – Vilniaus Visų Šventųjų bažnyčios – klebonijoje. J. Kuktos iniciatyva „Ryto“ draugija Vilniuje įsteigė pedagoginius kursus liaudies mokytojams rengti, perėmė ir išlaikė jo paties vadovaujamus vakarinius kursus, buvo įsteigta Vilniaus Vytauto Didžiojo gimnazija, kuri 1916–1921 m. buvo vadinama „Ryto“ draugijos Vilniaus lietuvių gimnazija. Jis buvo 3-iosios Vilniaus savitarpio kredito bendrovės pirmosios valdybos narys.

Pirmojo pasaulinio karo metais jis buvo Lietuvių draugijos nukentėjusiems nuo karo šelpti Centro komiteto narys, paskui – vicepirmininkas, o nuo 1918 m. – pirmininkas. 1917 m. liepos 10 d. kartu su kitais 14 žymių lietuvių pasirašė kontrmemorandumą Vokietijos vyriausybei, kuriame pareiškė protestą prieš Lietuvos lenkų kėslus Lietuvą prijungti prie Lenkijos, už tai kiek laiko buvo atleistas iš klebono pareigų.

Nuo 1918 m., Vilniaus vyskupu tapus jo studijų draugui Jurgiui Matulaičiui (1871–1927), J. Kukta buvo artimiausias jo talkininkas. Kaip vyskupo atstovas J. Kukta 1920 m. kovo mėnesį lydėjo Vatikano prefekto pavaduotoją Ambrogio Ratti – būsimąjį popiežių Pijų XI (1857–1939) jo kelionėje po Lietuvą.

1922 m. sausį lenkų valdžia Vilniuje J. Kuktą suėmė, kalino Lukiškėse ir kaltino sukilimo prieš lenkus organizavimu. Vasario 6 d. kartu su 33 lietuviais veikėjais, tarp kurių buvo ir 19 kunigų, jis buvo ištremtas iš Vilniaus ir apsistojo Kaišiadoryse. 1922–1926 m. Vilniaus vyskupo J. Matulaičio pavedimu, vėliau popiežiaus Pijaus XI paskyrimu, kaip apaštališkasis administratorius jis valdė Nepriklausomoje Lietuvoje likusią Vilniaus vyskupijos dalį – 5 dekanatus su 63 bažnyčiomis.

Įsteigus Kaišiadorių vyskupiją, 1926 m. balandžio 5 d. J. Kukta paskirtas pirmuoju Kaišiadorių vyskupu ordinaru. 1926 m. gegužės 1 d. arkivyskupas Jurgis Matulaitis-Matulevičius konsekravo J. Kuktą vyskupu. Jis ėjo šias pareigas 1926–1942 m., iki gyvenimo pabaigos. J. Kuktos ingreso iškilmės buvo surengtos 1926 m. gegužės 24 d. Žąslių (Kaišiadorių r.) Šv. Jurgio bažnyčioje.

1926 m. gegužės 16 d. J. Kukta talkino kitiems vyskupams, konsekruojant Vilniaus vyskupą koadjutorių Mečislovą Reinį.

Jis organizavo pirmąjį vyskupijos Eucharistinį kongresą, 1936 m. gegužės 11–13 d. sušaukė diecezinį sinodą, įsteigė daugiau nei dešimt naujų parapijų, paskelbė 17 ganytojiškų laiškų.

Dieceziją J. Kukta suskirstė į 9 dekanatus: Alytaus, Giedraičių, Merkinės, Molėtų, Saldutiškio, Stakliškių, Širvintų, Žąslių ir Žiežmarių. 1928 m. jis sudarė kapitulą (4 prelatai ir 4 kanauninkai). Nuo 1908 m. statomą Kaišiadorių parapinę bažnyčią J. Kukta pertvarkė į katedrą (įrengta 1932, konsekruota 1936). Jo rūpesčiu 1933 m. buvo baigti statyti vyskupų rūmai. 1940 m. Kaišiadorių vyskupijai priklausė 67 bažnyčios.

Iki senatvės jis išliko atviras ir tiesus bažnyčios teisių gynėjas. 1941 m. kartu su vyskupu Vincentu Borisevičiumi nuvyko pas Nikolajų Pozdniakovą ir Mečislovą Gedvilą, kur sovietiniams Lietuvos vadovams vyskupų vardu įteikė memorandumą, kuriame buvo pasisakyta prieš vyriausybės prasižengimus Lietuvos Konstitucijai ir Bažnyčios teisėms.