Asmens dokumentuose pavardė nurodoma Bajorūnas, antspaude, dėtame ant fotografijų, – Bajarūnas.

Gimė 1890 m. spalio 28 d. Navapolio dvare netoli Sidabravo ūkininkų Paulinos Pronis ir Justino Bajorūno šeimoje. Tėvai valdė apie 80 ha žemės, išaugino 8 vaikus. 1919 m. T. Bajorūnas vedė Kazimierą Jeleniauskaitę. Apie 1920 m. jauna šeima apsigyveno Krekenavoje, Bažnyčios gatvės 29-ajame name. Namo gale fotografas įsirengė fotoateljė. Fotografuoti, matyt, išmoko tarnaudamas carinės Rusijos kariuomenėje. Jis ne tik fotografavo, bet ir taisė laikrodžius, siuvimo mašinas, dviračius, radijo imtuvus, konstravo įvairius prietaisus. Buvo  linksmas, turėjo iškalbos dovaną, nuolat pokštaudavo, pasakodavo įvairias istorijas. Dainavo, grojo mandolina.