Gimė Ukrainoje, ten susipažino jo tėvai – Kostas Balsys ir pavolgio vokietė Barbora Renner. Kai šeima su trimis sūnumis grįžo į Lietuvą ir apsistojo Skuode, Eduardui buvo dveji metai. Čia E. Balsys pradėjo mokytis muzikos ir žaisti futbolą. 1928 m. su šeima persikėlė į Klaipėdą, 1939 m. į Kretingą, vėliau – į Palangą.
Iki 1939 m. lankė Klaipėdos Vytauto Didžiojo gimnaziją, dainavo chore, grojo pučiamųjų orkestre altu ir tūba. Gimnazijoje garsėjo kaip puikus gimnastas, futbolininkas, krepšininkas.

1937 m. su KSS Klaipėda komanda tapo Lietuvos futbolo čempionu, 1938 m. žaidė Lietuvos rinktinėje.
1940 m. įstojo ir leitenanto laipsniu baigė Kauno karo mokyklą. Čia jis pradėjo kurti muziką, žygio dainas. 1941–1945 m. Kretingos gimnazijos mokytojas. 1948 m. rugpjūčio 14 d. susituokė su Adele Jasinskaite. 1948–1950 m. studijavo LSSR konservatorijoje (Antano Račiūno klasė), dėstė teorines disciplinas Juozo Gruodžio muzikos mokykloje. 1953 m. Leningrado konservatorijoje baigė aspirantūrą.
Nuo 1953 m. dėstė LSSR konservatorijoje, 1960–1984 m. Kompozicijos katedros vedėjas, 1969 m. profesorius.

Žymiausi mokiniai – Julius Andrejevas, Vidmantas Bartulis, Algimantas Bražinskas, Jonas Domarkas, Benjaminas Gorbulskis, Giedrius Kuprevičius, Faustas Latėnas, Tomas Leiburas, Algirdas Martinaitis, Vaclovas Paketūras, Rimvydas Racevičius, Anatolijus Šenderovas, Juozas Širvinskas, Jonas Tamulionis, Audronė Žigaitytė ir kt.
1954–1962 m. LSSR kompozitorių sąjungos valdybos atsakingasis sekretorius, 1962–1971 m. pirmininkas. 1963–1974 m. LSSR AT deputatas.
Žymiausi kūriniai:
„Kelionė į Tilžę“ (opera, 1980), „Eglė žalčių karalienė“ (baletas, past. 1960), „Nelieskite mėlyno gaublio“ (oratorija, 1969), „Dramatinės freskos“ smuikui, fortepionui ir orkestrui (1965), Styginių kvartetas (1952), „Elektrėnų žiburiai“ (estradinė daina, S. Žlibino žodžiai).
Parašė muziką kino filmams:
„Tiltas“ (1956, rež. Borisas Šreiberis), „Žydrasis horizontas“ (1957, rež. Vytautas Mikalauskas), „Adomas nori būti žmogumi“ (1959, rež. Vytautas Žalakevičius)
„Gyvieji didvyriai“ (1960, rež. Marijonas Giedrys, Balys Bratkauskas, Arūnas Žebriūnas, Vytautas Žalakevičius), „Kanonada“ (1961, rež. Arūnas Žebriūnas, Raimondas Vabalas), „Žingsniai naktį“ (1962, rež. Raimondas Vabalas), „Vienos dienos kronika“ (1963, LKS, rež. Vytautas Žalakevičius), „Eglė žalčių karalienė“ (filmas-baletas, 1965, rež. Vytautas Grivickas, Algimantas Mockus), „Naktys be nakvynės“ (1966, LKS, rež. Algirdas Araminas, Gediminas Karka), „Akmuo ant akmens“ (1972, LKS, rež. Raimondas Vabalas), „Inkasatoriaus krepšys“ (1977, „Lenfilm“, rež. Augustas Baltrušaitis).
Taip pat sukūrė kantatų, 2 koncertus smuikui ir orkestrui, koncertą smuikui solo (skirtas Raimundui Katiliui), simfoniją koncertą vargonams, pučiamiesiems ir mušamiesiems, simfoninių poemų, kamerinių kūrinių.

Išplėtojo (daugiausia chorui) lietuvių liaudies dainų.

E. Balsys redagavo M. K. Čiurlionio simfoninę poemą „Jūra“ (1956).
Jo kūrybai būdingas polinkis į stambias formas, emocingumas, temperamentingumas, muzikinio lietuvių folkloro bei moderniųjų raiškos priemonių derinimas. Laisvai ir kūrybiškai naudojo dodekafonijos techniką. Orkestruotės pasižymi spalvingumu, tembrų įvairove.