Baigęs Panevėžio gimnaziją, įstojo į Vytauto Didžiojo universiteto Technikos fakultetą. 1932 m. apgynė diplominį darbą „Karo ir archeologijos muziejus Kaune“. 1929 m. ir 1932–1935 m. lankė prof. Mstislavo Dobužinskio meno studiją.
Architektūrinę veiklą pradėjo dar studijuodamas. 1928 m. dirbo praktikantu prie Klaipėdos uosto, 1929 m. – Fizikos-chemijos instituto (prof. Mykolas Songaila), 1931 m. – techniku Vytauto Didžiojo karo muziejaus (prof. Vladimiras Dubeneckis, inž. Karolis Reisonas, inž. Kazys Kriščiukaitis) statybose. Savarankiškai paruošė ir įgyvendino Panevėžio apskrities Uliūnų ir Geležių bažnyčių rekonstrukcijas.
Baigęs universitetą, vadovavo Raudondvario vaikų prieglaudos remonto darbams. 1933–1934 m., atlikdamas karinę prievolę, tarnavo Karo butų valdyboje. Čia sudarė keleto karinių objektų darbo brėžinius: trijų tipinių kariuomenės kepyklų, tipinio pulko štabo, karininkų vilos Palangoje.
1934–1938 m. dirbo Statybos ir sauskelių inspekcijos statybos inžinieriumi, o nuo 1935 m. – ir sauskelių viešųjų darbų referentu. Kartu su inž. Alfonsu Barausku vadovavo Žemaičių plento statybai.
1938–1940 m. – Kauno miesto savivaldybės architektas ir projektavimo dalies vedėjas. 1940 m. ir 1944–1946 m. – Kauno miesto vyriausiasis architektas. Antrojo pasaulinio karo metais dirbo Statybos valdyboje trobesių projektavimo skyriaus vedėju.
1944–1950 m. dėstė Kauno valstybiniame universitete, 1951–1963 m. – Kauno politechnikos institute. Docentas (1948), menotyros mokslų kandidatas (1954). 1963–1980 m. dirbo Statybos ir architektūros institute. Lietuvos SSR nusipelnęs architektas (1974).
Tarpukario metais F. Bielinskis buvo vienas žymiausių mokyklų projektuotojų Lietuvoje. Pagal jo projektus pastatyta Kėdainių gimnazija (1937; 1944 susprogdinta), Ukmergės Antano Smetonos gimnazija (1936, pastatyta 1938), mokyklos Kaune (1938), Palangoje, Šiauliuose, Šventojoje, Šilutėje, Vievyje, taip pat tipinės 1–4 klasių pradžios mokyklos, pritaikytos kaimo sąlygomis. Išplanavo ir įrengė 3 stadionus: 10 ha Ukmergėje (1932), 8 ha Kaune prie Kūno kultūros rūmų (1935), Alytuje (1936).
Užbaigė Stasio Kudoko pradėtą kurti Žaliakalnio vandentiekio stoties kompleksą: rekonstruotas rezervuaras (buvęs Kauno tvirtovės fortas), pastatytas trijų aukštų gyvenamasis namas stoties darbuotojams (1938, Aukštaičių g. 43). Rezervuaro pastato išorėje įkomponavo Broniaus Pundziaus skulptūrą „Vandens nešėja“.
Aktyviai dalyvavo rengiamuose projektavimo konkursuose, septyniuose laimėjo pirmąsias premijas: banko Tauragėje (1935), Loido bendrovės Kaune (1936), technikos mokyklos Kaune (1936), Panevėžio muziejaus (1938), gimnazijos Kėdainiuose (1936), Prekybos ir pramonės rūmų Kaune (1938), lietuviškos sodybos (1940).
Dalyvavo tarptautiniame universiteto klinikų projektavimo konkurse, pelnė trečiąją premiją (1937). Pagal F. Bielinskio projektą klinikų komplekse pastatytas Patologinio anatomikumo pastatas. Sudarė Biržų ir Šiaulių ligoninių, Kauno Raudonojo Kryžiaus chirurginės ligoninės projektus (neįgyvendinti).
Parašė straipsnių apie liaudies architektūrą, statybą, rajoninį planavimą, landšafto bei rekreacinę architektūrą.
Knygos: „Lietuvių liaudies architektūra“ (1960, rusų k.), „Armocementas“ (su P. Buškūnu, 1964), „Lietuvių liaudies menas: Architektūra“ (albumas, su kitais, 2 kn., 1957–1965), „Lietuvių liaudies menas. Mažoji architektūra“ (albumas, su kitais, 1970).
