1931–1935 m. L. Broga mokėsi Kalniškių pradžios mokykloje, 1935–1937 m. – Dusetose. 1937–1939 m., dėdės Jono Brogos globojamas, lankė Biržų gimnaziją, 1939–1943 m. – K. Būgos gimnaziją Zarasuose. Domėjosi rimtomis knygomis, daug skaitė, pradėjo rašyti, vadovavo literatų būreliui, gražiai piešė. 1941 m. vasario 1 d. už „Internacionalo“ „patobulinimą“ drauge su Antanu Kanapecku iš gimnazijos buvo pašalintas, bet vėliau VIII klasės egzaminus išlaikė eksternu ir mokėsi toliau. Kaip geriausiai baigęs Zarasų gimnazijos XIII laidos abiturientas direktoriaus Prano Pauliukonio ir klasės auklėtojo Romualdo Giedraičio buvo apdovanotas 1938 m. išleista knyga apie M. K. Čiurlionį. Iki 1944 m. rudens prabuvo tėviškėje, o nuo gruodžio mėn. mokytojavo Turmanto, nuo 1945 m. rugsėjo – Antalieptės progimnazijose.
Studijavo Vytauto Didžiojo universiteto (vėliau pervadinto į Kauno politechnikos institutą) Hidrotechnikos fakultete (1946–1951), tapo diplomuotu kelių inžinieriumi. 1947–1952 m. dirbo Kauno m. techninės inventorizacijos biure techniku inventorizuotoju. 1949 m. kovo 25 d. Brogų šeima iš Pačiaunės buvo išvežta į Sibirą.
1952–1956 m. – LSSR Plentų valdybos Kaune inžinierius-dispečeris, 1956–1958 m. – LSSR autotransporto ir plentų ministerijos inžinierius-dispečeris ir techninės inspekcijos inžinierius Vilniuje, 1958–1962 m. – ministerijos kapitalinės statybos skyriaus viršininkas.
1962 m. pradėjo dėstyti Vilniaus inžinerinės statybos institute braižybą ir braižomąją geometriją. Išlaikė ekonomikos moksl. kandidato egzaminus, bet disertacija liko nebaigta.
1958 m. išleido žemėlapį „LTSR keliai“, 1962, 1963, 1963 rusų k. (su E. Danilevičiumi) – „LTSR turistinį žemėlapį“, 1973, 1974 m. – vadovėlius „Braižomoji geometrija“ (III, IV).
Keliavo po Vidurinę Aziją, Kaukazą, kaimynines respublikas.
Daug skaitė (sukaupė nemažą biblioteką), domėjosi menais, rašė eilėraščius, vertė poeziją, rinko medžiagą apie tėviškės praeitį, Dusetų krašto žmones. Per 100 publikacijų (daugiausia poezijos vertimų) paskelbė periodinėje spaudoje, almanachuose. Itin daug jėgų ir laiko atidavė svarbiausio jam poeto Jurgio Baltrušaičio kūrybai, į lietuvių kalbą išvertė visą rusiškąją jo lyriką („Žemės Laiptai. Kalnų Takas“, 1973, „Lelija ir Pjautuvas“, 1996). Šių vertimų, sudėtų į vieną knygą „Kalba su lemtimi“ (2007), nebepamatė. Vertė Rytų poetų: O. Chajamą („Rubajatai“, 1972, 1998, „Išminties taurė“, 1984), Hafizą („Gazelės“, 1978), Nizami („Leili ir Medžnūnas“, 1985 m.), t. p. paskelbė Vazeho, Machtumkuli, Chagani, Kemine ir kt. vertimų. Parašė atsiminimus apie J. Urbšį, U. ir V. A. Graičiūnus, P. Kuzmicką, L. Janaudį ir kt. Saugojo ir Teatro, muzikos ir kino muziejui perdavė aktorės ir režisierės U. Babickaitės-Gračiūnienės kultūrinį palikimą, parengė jai atminti skirtas knygas: „Atsiminimai. Dienoraštis. Laiškai“, 2001, „Laiškai. Amžininkų atsiminimai“, 2005.
2008 m. „Krantai“ išleido žmonos R. Brogienės sudarytą, talkinant L. Brogos dukterėčiai Linai Brogaitei-Kažemėkienei ir jos vyrui Gintautui Kažemėkui, leidinį „Linas Broga. Atminimo knyga“. Sakralinės skulptūros L. Brogos fotografijų parodėlės veikė Rašytojų klube Vilniuje (2009), Perkūno name Kaune (2009), Zarasų krašto muziejuje (2010), Juozo Naujalio muziejuje Raudondvaryje, Kauno r. (2010).
