Gimė 1903 m. rugsėjo 19 m. Klaipėdos rajone, Eidukų kaime. Visa Rameikų šeima buvo linkusi į meną.  Kostas iš pradžių mokėsi Kaune piešimo (1921–1923 m.), po to (1923– 1927) – Kauno meno mokykloje ir ,,Aušros“ gimnazijoje. Pateko į patį pirmąjį suorganizuotą Meno mokyklos, vadovaujamo žinomo dailininko Justino Vienožinskio, kursą. Netekęs rėmėjų Kostas Rameika paskutinio kurso nebaigė. 1927 m. Kostas grįžo pas tėvus į Žemaitiją. Nesunkiai susirado darbą pagal savo pomėgį. Dažniausiai kūrė memorialinius ir Lietuvos nepriklausomybei skirtus paminklus. Dirbo keliaudamas iš vienos parapijos į kitą. 1933 m. atkeliavo dirbti į Josvainius. Apsigyveno J. Bojanausko namuose. Ten sutiko savo būsimą žmoną Aleksandrą Griniūtę. Menininkas mėgo teatrą, muziką, rašė pjeses, net epigramas. Daug rašė Josvainių saviveiklininkams, tapė dekoracijas. 1948 m. buvo žiauriai nužudytas dėl nelojalumo tuometinei valdžiai. Palaidotas Josvainiuose.