Teatro aktorė. Gimė 1920 m. liepos 7 d. Maskvoje, mirė 1999 m. gruodžio 22 d. Vilniuje, palaidota Vilniaus Antakalnio kapinėse.

Tėvai: Aleksandras Vytautas Kupstas – teatro aktorius, režisierius, ir Olga Kupstienė – pedagogė, teatro režisierė. Seserys: Aldona Kupstaitė-Vancevičienė – aktorė, Eglė Kupstaitė – aviatorė. Vyras Aleksandras Drobnys.

1927–1928 m. mokėsi Kauno rusų gimnazijoje, 1928–1930 m. – Kauno pradžios mokykloje prie „Saulės“ gimnazijos, 1930–1933 m. – Kauno „Saulės“ kazimieriečių vienuolių gimnazijoje, 1933–1934 m. – Ramygalos (Panevėžio r.) progimnazijoje.

1934–1935 m. L. Kupstaitė su motina gyveno Anykščiuose ir mokėsi Anykščių progimnazijoje. Besimokydama Anykščiuose, L. Kupstaitė pradėjo dalyvauti dramos mėgėjų būrelio, kuriam vadovavo jos motina O. Kupstienė, veikloje, vaidino anykštėnų gimnazistų pastatymuose.

1935–1940 m. ji baigė Telšių Vyskupo Motiejaus Valančiaus gimnaziją.

1940–1941 m. L. Kupstaitė mokėsi Kauno Valstybės teatro vaidybos studijoje, pradėjo vaidinti šio teatro spektakliuose.

Antrojo pasaulinio karo metais ji pasitraukė į Rytus, gyveno Rusijoje. 1941–1942 m. buvo tarybinio ūkio „Raudonasis spalis“ vaikų darželio auklėtoja, 1942 m. – Molotovo kolūkio (Osokarovkos r.) darbininkė, 1942–1943 m. – Pereslavlio-Zaleskio Lietuvos dainų ir šokių ansamblio artistė, 1943–1944 m. – Maskvoje veikusios Lietuvos radijo redakcijos diktorė.

Nuo 1944 m. iki gyvenimo pabaigos L. Kupstaitė gyveno Vilniuje.

1944–1945 m. vaidino „Vaidilos“ teatre, taip pat buvo pirmoji Lietuvos radijo, po karo pradėjusio transliuoti laidas iš Vilniaus, diktorė.

Nuo 1945 m. iki gyvenimo pabaigos L. Kupstaitė buvo Lietuvos valstybinio akademinio dramos teatro aktorė. Jos sceninei kūrybai buvo būdingas emocingumas ir plastiškumas, subtiliai atskleistas herojų vidinis pasaulis.

Svarbiausi L. Kupstaitės vaidmenys teatre:

1945 m. – Katrė V. Miliūno inscenizacijoje pagal Žemaitės apsakymus „Marti“.

1953 m. – Dalia B. Sruogos „Apyaušrio dalia“.

1954 m. – Jelena A. Čechovo „Dėdė Vania“.

1958 m. – Marija Stiuart F. Schillerio „Marija Stiuart“.

1962 m. – Ledi Torens T. Williamso „Orfėjus nusileidžia į pragarą“.

1964 m. – Vasilisa M. Gorkio „Dugne“.

1969 m. – Morta Just. Marcinkevičiaus „Mindaugas“.

1977 m. – Eržebeta I. Erkenio „Žaidžiame kates“.

1979 m. – Marysenka B. Sruogos „Kazimieras Sapiega“.

1980 m. – Tankabikė M. Karimo „Mėnulio užtemimo naktį“.

1982 m. – Meilužė E. Olbio „Viskas baigta“.

1983 m. – Motušė T. Williamso „Katė ant įkaitusio skardinio stogo“.

1984 m. – Turusina A. Ostrovskio „Kiekvienam gudruoliui pakanka kvailumo“.

L. Kupstaitė sukūrė melodramatišką grafienės vaidmenį antrajame po Antrojo pasaulinio karo Lietuvos kino studijos vaidybiniame filme „Ignotas grįžo namo“ (1956). Ji taip pat vaidino televizijos spektaklyje Vytauto Rimkevičiaus „Žiedas“ (1973), kur sukūrė kaimynės vaidmenį.

L. Kupstaitei buvo suteiktas Lietuvos liaudies artistės garbės vardas (1970).