Krekenavos (Panevėžio apskr.) bei jos apylinkių fotografas.
Gimė 1890 m. spalio 28 d. Navapolio dvare netoli Sidabravo ūkininkų Paulinos Pronis ir Justino Bajarūno šeimoje. Tėvai valdė apie 80 ha žemės. Beveik visi 8 jų vaikai pasekė tėvų pėdomis – dirbo žemę, tik vienas tapo kalviu, o Tadas – fotografu.
Specialių mokslų T. Bajarūnas nebaigė. Galima spėti, kad fotografuoti jis išmoko tarnaudamas carinės Rusijos kariuomenėje. Ne tik fotografuoti, bet ir taisyti laikrodžius, siuvimo mašinas, dviračius, radijo imtuvus, pamėgo konstruoti.
1919 m. vedė Kazimierą Jeleniauskaitę. Apie 1920 m. jauna šeima apsigyveno Krekenavoje, Bažnyčios gatvės 29-ajame name, kuriame įsirengė kuklią fotoateljė. Darbo T. Bajarūnui niekada netrūkdavo. Ypač daug norinčių nusifotografuoti žmonių pas jį ateidavo per atlaidus. Dažnai būdavo kviečiamas į gretimus kaimus.
Išlikusiuose stikliniuose negatyvuose ir fotografijose daugiausiai portretų, žmonių grupių, vestuvių, laidotuvių nuotraukų, rečiau – religinių švenčių, miestelio vaizdų. Yra įamžinta ir iškilmingų, miestelio visuomenei svarbių momentų (susitikimas su prezidentu A. Smetona, vyskupo K. Paltaroko sutikimas, pradžios mokyklos statyba ir kt.).
T. Bajarūnas buvo linksmas, muzikalus žmogus, dainavo, grojo mandolina, nuolat pokštaudavo, pasakodavo įvairias istorijas. Mirė 1945 m. kovo 13 d., palikęs ne tik savo fotoarchyvą, bet ir darbų pasekėją – sūnų Vytautą (kitas sūnus pasirinko pedagogo, dukra – inžinierės profesijas). Didžioji dalis T. Bajarūno fotografinio palikimo perduota Panevėžio kraštotyros muziejui, nemažai nuotraukų saugoma Rumšiškių liaudies buities muziejuje.

Fotomenininkas Saulius Saladūnas apie T. Bajarūną yra pasakęs: „Tuo laiku visoj Lietuvoj fotografija buvo panaši, tik vienas kitas fotografas išsiskirdavo. T. Bajarūno fotografija buitinė, fotografavimo maniera klasikinė. Nuotraukose žmonės labai statiški, tačiau gan apgalvotai, labai tvarkingai sustatyti. Matyti, kad fotografas buvo neabejingas estetiniams to laikmečio reikalavimams. Negatyvai retušuoti, o tai – labai specifinis dalykas, ištisas mokslas. Labiausiai jį vertinti reikėtų ne tik už tai, kad fotografijai paskyrė visą savo gyvenimą, bet ir kad turėjo kruopštumo išsaugoti nuotraukas ir negatyvus” .

Lietuvių.